Complesso di catene

In matematica un complesso di catene è un oggetto algebrico usato soprattutto in topologia algebrica. Consiste in una successione di gruppi abeliani e di funzioni fra questi che soddisfa alcune proprietà, utili a studiare e modellizzare gli spazi topologici.

Definizione

Un complesso di catene è una successione di gruppi abeliani ${\displaystyle A_{i}}$ indicizzati da numeri interi ${\displaystyle i}$ e di omomorfismi

${\displaystyle \partial _{i}:A_{i}\to A_{i-1}}$

definiti anch'essi per ogni intero ${\displaystyle i}$, tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale. In altre parole:

${\displaystyle \partial _{i-1}\circ \partial _{i}=0}$

per ogni intero ${\displaystyle i}$.

Un complesso di catene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

${\displaystyle \cdots \to A_{n 1}{\xrightarrow {\partial _{n 1}}}A_{n}{\xrightarrow {\partial _{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {\partial _{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {\partial _{2}}}A_{1}{\xrightarrow {\partial _{1}}}A_{0}{\xrightarrow {\partial _{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {\partial _{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {\partial _{-2}}}\cdots }$

Un complesso di cocatene è una successione di gruppi abeliani ${\displaystyle A^{i}}$ e di omomorfismi

${\displaystyle \partial ^{i}:A^{i}\to A^{i 1}}$

tali che la composizione di due omomorfismi successivi abbia come risultato sempre l'omomorfismo banale:

${\displaystyle \partial ^{i 1}\circ \partial ^{i}=0}$

Un complesso di cocatene può essere descritto globalmente nel modo seguente:

${\displaystyle \cdots \to A^{-2}{\xrightarrow {\partial ^{-2}}}A^{-1}{\xrightarrow {\partial ^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {\partial ^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {\partial ^{1}}}A^{2}\to \cdots \to A^{n-1}{\xrightarrow {\partial ^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {\partial ^{n}}}A^{n 1}\to \cdots .}$

Generalmente gli indici interi sono posizionati in basso (come pedici) per i complessi di catene, ed in alto (come apici) per i complessi di cocatene.

Omologia

In un complesso di catene, vale per ogni ${\displaystyle i}$ la relazione

${\displaystyle \operatorname {im} \,\partial _{i}\subset \ker \partial _{i-1}.}$

L'omologia del complesso è quindi definita come il gruppo quoziente

${\displaystyle H_{i}=\ker \partial _{i-1}/\operatorname {im} \,\partial _{i}}$

che è definito per ogni intero ${\displaystyle i}$. Analogamente si definisce una coomologia ${\displaystyle H^{i}}$ a partire da un complesso di cocatene.

Il complesso di (co-)catene è detto aciclico se l'omologia è banale per ogni ${\displaystyle i}$. Un complesso di (co-)catene aciclico è una successione esatta.

Biografia

• (EN) Raoul Bott e Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90613-3.

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Chain Complex, su MathWorld, Wolfram Research.